Exercícios / Pág 75

Rio, 16/08/2010

Gráfico de uma função definida por mais de uma sentença

Construa o gráfico das seguintes funções :

a) y={x, se x ≥ 0 / 2, se x < 0 b) y = { x+1, se x ≥ 1 / x, se x<1

Estudo do sinal da função polinomial do 1º grau

Construa o gráfico das seguintes funções :

a) f(x) = x+1
b) f(x) = -2x + 1



y > 0  { x € R | x > -1 }
y = 0  { x € R | x = -1 }
y < 0  { x € R | x < -1 }





y > 0  { x € R | x < ½ }
y = 0  { x € R | x = ½ }
y < 0  { x € R | x > ½ }

Obs : f (x) = ax + b
ax + b = 0
x = -b/2  Zero da função

Exercícios:Página 69 -> 21 (a e b)21)
a) y = 2, se x ≥ 0
y = x+2, se x <>












b) y = x+1, se x ≥ 1
-x+ 1, se x < 0






Página 71 -> (24, 25 e 27)

24) a) f(x) corta o eixo y no ponto (0, 4) e o eixo x no ponto (4/3, 0)
g(x) corta o eixo y no ponto (0, 0) e o eixo x no ponto (0, 0)
h(x) corta o eixo y no ponto ( 0, -2) e o eixo x no ponto (2, 0)

b) f(x) é decrescente e o ângulo é obtuso
g(x) é crescente e o ângulo é agudo
h(x) é crescente e o ângulo é agudo

c)


















25) F(x) = 1/2 + 4 => Função crescente

27) a) F(x) = 6x-5
y= 6x- 5
x+5= 6y
6y = x+5
y = x+5/6 Logo: F-¹(x) = x+5/6

b)












c) Os gráficos de f e f-¹ são simétricos em relação ao da função y = x

Função polinomial
F:R-R
F(x)=ax+b
ex:A)y=3x+4
B)y=5x
Função afim(a≠o e b≠o)
ex: A)F(x)=2x+3
F(x)=-3x+1
Gráfico
Construa o gráfico da função y=2x+1.
X Y=2X+1
0 1
1 3


O gráfico de uma função afim é uma reta que não passa pela origem do eixo.
Função linear(a≠o e b=o)
F:R-R
F(x)=ax F(x)=2x F(x)=-3x/2
Gráfico
Construa o gráfico da função y=2x.
X Y=2X
0 0
1 2


O gráfico da função linear é uma reta que passa pela origem.
Função Identidade(a=1 e b=0)
F:R-R
F(x)=x

Gráfico
Construa o gráfico da função y=x
X Y=X
1 1
2 2

O gráfico da função y=x é uma reta que passa pela origem. Esta reta é BISSETRIZ dos quadrantes Ímpares.

Translação(a=1 e b∉o)
ex:F(x)=x+2
X Y=X+2
0 2
1 3


Função constante(a=o e b∈R)
F:R-R X Y=2
F(x)=b 0 2
1 2

Gráfico
F:R-R
F(x)=2


O gráfico da função F(x)=b e uma reta paralela ao eixo x. Se b:
b>o-A reta esta acima do eixo x.
b=o-A reta esta sobre o eixo x.
bFunção crescente e função decrescente
F(x)=ax+b
Função crescente e Função decrescente
F(x)=ax + b

Função crescente função decrescente
Ex: A) F(x)=2x-4 (C)
B) F(x)=x+5 (D)

Zero da função
o valor que torna a função F(x)=x+b nula, ou já, F(x)=o.
ex: F(x)=x-4
x-4=o
x=4







Página 65, 66, 68

Página 65

1- Determine o valor da função afim f(x) = -3x+4 para:
a)x = 1
b)x = 1/3
c)x =k+1

2- Qual função afim tem valor inicial maior: f(x)=3x +2/3
g(x)= 2x+3/4


Página 66

3- Classifique as funções f: lR →lR abaixo em afim, linear, identidade, constante e translação:
a) f(x)= 5x + 2
b) f(x)= -x+3
c) f(x)= 7
d) f(x)= x
e) f(x)= 3x
f) f(x)= x + 5

4- Verifique quais funções são afins. Nestas, encontre a e b, para f(x)= ax + b.

a) f(x)= 3(x + 1) + 4(x - 1)
b) f(x)= (x + 2)2 + (x + 2)(x – 2)
c) f(x)= (x + 3)2 - x(x – 1)
d) f(x)= (x – 3) – x(x – 1)

5- Escreva a função afim f(x) = ax + b.
a) f(1)= 5 e f(-3)= -7;
b) f(-1)=7 e f(2)= 1.

8- Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o número de unidades produzidas:
a) escreva a lei da função que fornece o custo total de x peças;
b) calcule o custo de 100 peças;
c) escreva a taxa de crescimento da função.
9- O preço do aluguel de um carro popular é dado pela tabela abaixo:

100 km Taxa fixa de R$ 50,00
300 km Taxa fixa de R$ 63,00
500 km Taxa fixa de R$ 75,00

Em todos os casos, paga-se R$ 0,37 por quilômetro excedente rodado.
a) Escreva a lei da função para cada caso, chamando de x o número de quilômetros excedentes rodados.
b) Qual e a taxa de variação de cada função?
Página 68
14- Construa, num sistema cartesiano ortogonal, o gráfico das seguintes funções:
a) f(x)= 2x + 3
b) f(x)= x+3

15- Faça o gráfico da função f(x)= 2 – 5x/3, sendo f: lR →lR
17- Obtenha, em cada caso, a função f(x)= ax + b, cuja reta, que é seu gráfico, passa pelos pontos:
a) (-1,1) e (2,0)
b) (3,0) e (0,4)

18- Determine o valor de m para que o gráfico da função f(x)= 2x+m -3:

a) intersecte o eixo y no ponto (0,5);
b) intersecte o eixo x no ponto (3,0).

20- Dados os gráficos das funções em lR em lR, escreva a função f(x) = ax + b correspondentes:
a)


b)


RESPOSTAS

1)a) f(x) = -3X + 4
f(1) = -3(1) + 4
f(1) = -3 + 4
f(1) = 1

b) f(1/3) = -3(1/3) + 4
f(1/3) = -1 +4
f(1/3) = 3

c) f(0) = -3(0) + 4
f(0) = 0 + 4
f(0) = 4

d) f(k + 1) = -3(k + 1) + 4
f(k + 1) = -3k -3 + 4
f(k + 1) = -3k + 1

Exercícios

Exercícios do livro pág.59 (55,56,57,58)

55)Determine a função inversa das seguintes funções bijetivas de IR em IR:

a) f(x) = x-6
b) f(x) = 1 – 2x
c) f(x) = 3x + 4
d) f(x) = 3x

Respostas:

f(x) = y

a) f(x) = x – 6
y = x – 6
x = y – 6
y = x + 6
f ¯¹(x) = x + 6

b) f(x) = 1 – 2x
y = 1 – 2x
x = 1 – 2y
2y = 1 – x
y = (1-x)/2

c) f(x) = 3x + 4
x = 3y + 4
3y = x – 4
y = (x-4)/3

d) f(x) = 3x
y = 3x
x = 3y
y = x/3

56)Determine a função inversa f¯¹(x) da função
f:IR – {2} → IR {1} dada por f(x)= x/(x-2)

Resposta:

f(x) = x/(x-2)

y = x/(x-2)
x = y/(y-2)
x/1 x y/(y-2)
xy - 2x = y
y - xy = 2x
y (x - 1) = 2x
y = 2x/(x-1) Logo: f¯¹(x) = 2x/(x-1)

57)Seja a função f(x) = 3x – 4 definida de IR em IR. Determine:

a) f¯¹(x);
b) f¯¹(2).

Repostas:

a)y = 3x – 4
x = 3y – 4
3y = x + 4
y = (x+4)/3 Logo: f¯¹(x) = (x+4)/3

b)f¯¹(2) = (2+4)/3
f¯¹(2) = 6/3
f¯¹(2) = 2

58)Seja f: IR → IR a função bijetiva tal que f(x) = 2x + 5.
Determine:

a) a função g, inversa de f, isto é, g(x) = f¯¹(x);
b) (f o g)(x) e (g o f)(x).

Respostas:

a)Y = 2x + 5
x = 2y + 5
2y = x – 5
y = (x-5)/2 Logo: f¯¹(x) = (x-5)/2

b)(f o g)(x) = F(g(x)) = F ( (x-5)/2 ) = ((2x+5)-5)/2 = 2x/2 = x

Logo: (f o g)(x) = x

(g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x+5) = 2.( (x-5)/2 ) + 5 = (x - 5) +5 = x

Logo: (g o f)(x) = x

Grupo: Fernanda, Pamella, Lívia, Ana e Gabriel.

Prova 2º Bimestre

Sábado, 7 de Agosto de 2010

1) Considere os conjuntos A e B:
A= {-30,-20,-10,0,10,20,30}
B= {100,200,300,400,500,600,700,800,900,1000},
e a função f: A->B, f(x)= x² + 100.

O conjunto imagem de f é,
a) {-30,-20,-10,0,10,20,30}
b) {100,200,500,1000}
c) {300,400,600,700,800,900}
d) {100,200,300,400,500,600,700,800,900,1000}
e) conjunto vazio

Resposta:

x² + 100

-30
900 + 100 = 1000
-20
400 + 100 = 500
-10
100 + 100 = 200
0
0 + 100 = 100
10
100 + 100 = 200
20
400 + 100 = 500
Letra b

2) Considere as funções f,g e h, todas definidas em [m,n] com imagens em [p,q] representadas através dos gráficos a seguir:




Pode-se afirmar que:
a)f é bijetiva, g é sobrejetiva e h não é injetiva.
b)f é sobrejetiva, g é injetiva e h não é sobrejetiva.
c)f não é injetiva, g é bijetiva e h é injetiva.
d)f é injetiva, g não é sobrejetiva e h é bijetiva.
e)f é sobrejetiva, g não é injetiva e h é sobrejetiva.

Resposta: Letra a

3)Dadas as funções f(x)= 2x-1 e g(x)= 3x, determine:
a)(fog)(x) b)(gof)(x)
Resposta:
a) f(gx)=f(3x)=2.(3x-1)
f(3x)=6x-1

b)g(fx)=g(2x-1)=3(2x-1)
g(2x-1)=6x-3

4)Construa o gráfico das seguintes funções:
a)y= -x
b)y= x+2



5)Observando os diagramas, classifique em injetoras, sobrejetoras ou bijetoras:



6)Analise os gráficos a seguir e identifique quais representam e quais não representam funções. Em seguida determine o domínio e a imagem das funções:



7) Na figura, está representando o gráfico da função f: R -> R, tal que f(x)=y.



8) Qual das funções a seguir é crescente?
a)y= 2x - 5 b) y=3x c)y=-x

Resposta: Letra a e b

Grupo: Fernanda, Pamella, Lívia, Ana e Gabriel.

Exercícios da função inversa.

Exercício caderno:

Determine a função inversa das seguintes funções:

a)y=3x
y=3x
x=3y
x=y
3

-1
f(x)=x
3

b)y=3x+2
3y=x-2
y=x-2
3
-1
f(x)=x-2
3

c)y=x+3
2
x=y+3
2
y+3=2x
y=2x-3

-1
f(x)=2x-3

d) y=x-1
x+3
y-1=x
y+3
y-1=x(y+3)
y-1=xy+3x
y-xy=3x+1
Y(1-x)=3x+1
y=3x+1
1-x
-1
f(x)=3x+1
1-x


Livro Novo, Pág 59.
55)
a) y= x-6
x= y-6
y= x+6

-1
f(x)= x+6

b) y= 1-2x
x= 1-2y
-2y= 1-x
2y= -x+1
y= -x+1
2
-1
f(x)= -x+1
2

c) y=3x+4
3y=x+4
y=x+4
3
-1
f(x)= x+4
3

d)y=3x
x=3y
x=y
3

-1
f(x)= x
3

56)
f(x)= x
x-2
y=x
y-2
y=x(y-2)
y=xy-2x
y-xy=-2x
y(1-x)=-2x
y= -2x
1-x
-1
f(x)= -2x
1-x

Teste 2º bimestre.

Teste: (2º) bimestre

1)Considere os conjuntos A e B:

A = {-30, -20, -10, 0, 10, 20, 30} e

B = { 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000}

E a função f: A ► B, f(x) = x² + 100 .

a) {-30, -20, -10, 0, 10, 20, 30}

b) {100, 200, 500, 1000} - correta

c) {300, 400, 600, 700, 800, 900}

d) {100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000}

Resposta:

x	x² + 100
-30	900 + 100 = 1000
-20	400 + 100 = 500
-10	100 + 100 = 200
0	0 + 100 = 100
10	100 + 100 = 200
20	400 + 100 = 500
30	900100 = 1000

2 )Dados os conjuntos A = {0, 2, 4, 6, 8} E b = { 1, 3, 5, 9}, enumere os elementos da seguinte relação: R = {(x, y) | A x B | y = x + 1}.

Resposta:

x	y = x + 1
0	0 + 1 = 1
2	2 + 1 = 3
4	4 + 1 = 5
6	6 + 1 = 7
8	8 + 1 = 9

R = {(0,1), (2,3), (4,5), (8,9)}

3) Dados os conjuntos A = {3, 4, 5} , B = { 2, 3, 6} e C = {0, 1, 4}

a) A x B

b) B x C

4) A velocidade de um carro é medida durante 30s. O gráfico a seguir mostra a variação dessa velocidade v (em..) ao longo do tempo t (em s)

Leia atentamente as afirmativas abaixo:

I - O automóvel permaneceu parado nos primeiros 5 segundos analisados.

II - Entre os instantes 12s e 20s a velocidade do automóvel parou.

III - O carro não se movimentou entre os instantes 12s e 20s.

IV - A velocidade que o carro atingiu no instante 10s voltou a ser atingida entre os instantes 20s e 25s

Estão CORRETAS apenas as afirmativas:

a) I, II e IV.

b) II e IV.

c) I e IV

d) I, III e IV

e) III e IV

Função Inversa

Função Inversa

dados: A = {1,2,3} e B = {2,4,6}

Seja F e G funções

F: A --> B G: B --> A

F(x) = 2x G(x) = x/2

Construa o diagrama das funções

D= {1,2,3}
Im= { 2,4,6}





D= {2,4,6}
Im= {1,2,3}


F-1(x) = função inversa
G(x) = função inversa da função F


F-1(x) = g(x)
F-1(x) = x/2

Processo Algébrico

• Trcar x por y e y por x
• Isolar y
  

F(x)= 2x
y= 2x
x=2y
y= x/2 Logo: F-¹(x)= x/2

Exemplos: Determine a função inversa das seguintes funções:

a) F(x)= 3x
b) F(x)= 3x + 2
c) F(x)= x+ 3/2
d) F(x)= x - 1/x + 3

Respostas:

a) y= 3x
x= 3y
y= x/3 Logo: F-¹(x)= x/3

b)y= 3x + 2
x-2=3y
3y= x-2
y= x-2/3 Logo: F-¹(x)= x-2/3

c)y= x+3/2
x/1= y+3/2
y+3 = 2x
y = 2x-3 Logo: F-¹(x) = 2x - 3

d) F(x) = x - 1/ x+ 3
y= x - 1/ x+ 3
x = y - 1/ y - 3
y - 1 = x(y + 3)
y - 1 = xy + 3x
y - xy = 3x + 1

y = 3x +1/ 1 - x Logo: F-¹(x) = 3x + 1/ 1 - x

Função Composta

Domínio e Imagem/ função crescente e decrescente/ função par e ímpar

•

Grafico

Contrua o gráfico das seguintes funções:

A = {1,2,3}
B = {2,3,4}

F: A -> B
F(x) = x+1












Para verificar se um grafico representa uma função, trasamos paralelas ao eixo y; se as retas cortarem o grafico em apenas um ponto, temos uma função.

Domínio, Imagem e Contradominio

Dados A = {2,3,4} e B = {4,6,8,9} . Seja F uma função de A em B definida por y= 2x . Construa o diagrama da função

F: A -> B
y= 2x



F: {(2,4), (3,6), (4,8)

D = {2,3,4}

Im = {4,6,8}

Função

Dados A = {1,2,3} e B = {2,3,4,5} . Seja R uma relação de A em B defina por Y= x+1
Construa o diagrama de R





R = {(1,2), (2,3), (3,4)}







Cada elemento do conjunto de partida tem correspondente um elemento do conjundo de chegada.
Cada elemento do C.P tem correspondente apenas um elemento no C.C (dispara apenas uma flecha)
A relação acima é uma função

Ex:

Relação

•
•